\(\cos x = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-5;10} \right].\)
Рассмотрим решения \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -2,\) то \(x \le -\dfrac{{19\pi }}{6} < -5,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-5;10} \right]\) нет.
Если \(k = -1,\) то \(x = -\dfrac{{7\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k = 0,\) то \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{17\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{29\pi }}{6} > 10,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-5;10} \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{17\pi }}{6} < -5,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-5;10} \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = -\dfrac{{5\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{19\pi }}{6} \in \left[ {-5;10} \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{31\pi }}{6} > 10,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-5;10} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 6 корней.
Ответ: 6.