\({\rm{ctg}}\,x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {12;20} \right].\)
Если \(k \le 3,\) то \(x \le \dfrac{{10\pi }}{3} < 12,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {12;20} \right]\) нет.
Если \(k = 4,\) то \(x = \dfrac{{13\pi }}{3} \in \left[ {12;20} \right].\)
Если \(k = 5,\) то \(x = \dfrac{{16\pi }}{3} \in \left[ {12;20} \right].\)
Если \(k = 6,\) то \(x = \dfrac{{19\pi }}{3} \in \left[ {12;20} \right].\)
Если \(k \ge 7,\) то \(x \ge \dfrac{{22\pi }}{3} > 20,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {12;20} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 3 корня.
Ответ: 3.