\({\cos ^2}x = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Рассмотрим решения \(x = -\dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{7\pi }}{6} < -\dfrac{\pi }{6},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = -\dfrac{\pi }{6} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{11\pi }}{6} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{17\pi }}{6} > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{5\pi }}{6} < -\dfrac{\pi }{6},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = \dfrac{\pi }{6} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{13\pi }}{6} > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6};2\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(-\dfrac{\pi }{6},\,\,\,\dfrac{\pi }{6},\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{6},\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{6},\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{6}.\,\)
Ответ: \(-\dfrac{\pi }{6},\,\,\,\dfrac{\pi }{6},\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{6},\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{6},\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{6}.\,\)