Задача 27. Найдите корни уравнения \(\sin {\,^2}x = \dfrac{3}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-5\pi ;\,-\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{{14\pi }}{3};\;\;\,\,\,-\dfrac{{13\pi }}{3};\,\,\,\,\,-\dfrac{{11\pi }}{3}\,.\)
Решение
\({\sin ^2}x = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1-\cos 2x}}{2} = \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = -\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-5\pi ;-\dfrac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{3}-4\pi = -\dfrac{{11\pi }}{3},\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}-5\pi = -\dfrac{{14\pi }}{3}\) и \(x = -\dfrac{\pi }{3}-4\pi = -\dfrac{{13\pi }}{3}.\)
Ответ: \(-\dfrac{{14\pi }}{3},\,\,\,\,-\dfrac{{13\pi }}{3},\,\,\,\,-\dfrac{{11\pi }}{3}.\)