Задача 28. Найдите корни уравнения \(\cos {\,^2}x = \dfrac{1}{2}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,4\pi ;\,5\pi } \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\dfrac{{17\pi }}{4};\;\;\,\,\,\dfrac{{19\pi }}{4}\,.\)
Решение
\({\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {4\pi ;5\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{4} + 4\pi = \dfrac{{17\pi }}{4},\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{9\pi }}{2} = \dfrac{{19\pi }}{4}.\)
Ответ: \(\dfrac{{17\pi }}{4},\,\,\,\,\dfrac{{19\pi }}{4}.\)