Задача 29. Найдите корни уравнения \({\text{tg}}{\,^2}x = 3\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-\pi ;\,\dfrac{\pi }{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{{2\pi }}{3};\;\;\,\,\,-\dfrac{\pi }{3};\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}\,.\)
Решение
\({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x = \pm \sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{3}-\pi = -\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\) и \(x = -\dfrac{\pi }{3}.\)
Ответ: \(-\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,-\dfrac{\pi }{3},\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)