Задача 29. Найдите корни уравнения  \({\text{tg}}{\,^2}x = 3\),  принадлежащие промежутку  \(\left[ {\,-\pi ;\,\dfrac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{{2\pi }}{3};\;\;\,\,\,-\dfrac{\pi }{3};\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}\,.\)

Решение

\({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x =  \pm \sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{3}-\pi  = -\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\)  и  \(x = -\dfrac{\pi }{3}.\)

Ответ:  \(-\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,-\dfrac{\pi }{3},\,\,\,\,\dfrac{\pi }{3}.\)