Задача 30. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}{\,^2}x = 3\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-3\pi ;\,-2\pi } \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\,\,\,-\dfrac{{17\pi }}{6}\,.\)
Решение
\({\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}x = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,x = \pm \sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-3\pi ;-2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{\pi }{6}-3\pi = -\dfrac{{17\pi }}{6}\) и \(x = -\dfrac{\pi }{6}-2\pi = -\dfrac{{13\pi }}{6}.\)
Ответ: \(-\dfrac{{17\pi }}{6},\,\,-\dfrac{{13\pi }}{6}.\)