Задача 31. Найдите корни уравнения  \(\sin \,\left( {x-\dfrac{\pi }{6}} \right) = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\),  принадлежащие промежутку  \(\left[ {\,-\dfrac{\pi }{{12}};\,6} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{{12}};\;\;\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{12}}\,.\)

Решение

\(\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{6}} \right) = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\dfrac{\pi }{6} = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,}\\{x-\dfrac{\pi }{6} = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\,\,}\\{x = -\dfrac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right].\) 

Рассмотрим решения  \(x = -\dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{25\pi }}{{12}} < -\dfrac{\pi }{{12}},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right]\) нет.

Если \(k = 0,\) то \(x = -\dfrac{\pi }{{12}} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right].\)

Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge \dfrac{{23\pi }}{{12}} > 6,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right]\) нет.

Рассмотрим решения  \(x = -\dfrac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{{7\pi }}{{12}} < -\dfrac{\pi }{{12}},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right]\) нет.

Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{17\pi }}{{12}} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right].\)

Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{41\pi }}{{12}} > 6,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{{12}};6} \right]\) нет.

Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(-\dfrac{\pi }{{12}},\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{12}}.\,\)

Ответ:  \(-\dfrac{\pi }{{12}},\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{12}}.\,\)