Задача 32. Найдите корни уравнения  \(\sin \,\left( {\dfrac{\pi }{3}-2x} \right) = 1\),  принадлежащие промежутку  \(\left[ {\,-4;\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{{13\pi }}{{12}};\;\;\,\,\,-\dfrac{\pi }{{12}};\,\,\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}\,.\)

Решение

\(\sin \left( {\dfrac{\pi }{3}-2x} \right) = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \left( {2x-\dfrac{\pi }{3}} \right) = -1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,2x-\dfrac{\pi }{3} = -\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\) 

Если \(k \le -2,\) то \(x \le -\dfrac{{25\pi }}{{12}} < -4,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right]\) нет.

Если \(k = -1,\) то \(x = -\dfrac{{13\pi }}{{12}} \in \left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\)

Если \(k = 0,\) то \(x = -\dfrac{\pi }{{12}} \in \left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\)

Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} \in \left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right].\)

Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{23\pi }}{{12}} > \dfrac{{11\pi }}{{12}},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-4;\dfrac{{11\pi }}{{12}}} \right]\) нет.

Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(-\dfrac{{13\pi }}{{12}},\,\,-\dfrac{\pi }{{12}},\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}.\,\)

Ответ:  \(-\dfrac{{13\pi }}{{12}},\,\,-\dfrac{\pi }{{12}},\,\,\,\dfrac{{11\pi }}{{12}}.\,\)