\(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,}\\{x + \dfrac{\pi }{3} = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-6;2\pi } \right].\)
Рассмотрим решения \(x = 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -2\pi < -6,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-6;2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = 0 \in \left[ {-6;2\pi } \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = 2\pi \in \left[ {-6;2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge 4\pi > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-6;2\pi } \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = -\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{8\pi }}{3} < -6,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-6;2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = -\dfrac{{2\pi }}{3} \in \left[ {-6;2\pi } \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{4\pi }}{3} \in \left[ {-6;2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{10\pi }}{3} > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-6;2\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(-\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,\,0,\,\,\,\dfrac{{4\pi }}{3},\,\,\,2\pi .\,\)
Ответ: \(-\dfrac{{2\pi }}{3},\,\,\,0,\,\,\,\dfrac{{4\pi }}{3},\,\,\,2\pi .\,\)