Отбор корней тригонометрических уравнений. Задача 34

ОТВЕТ: \(\dfrac{{13\pi }}{{36}};\;\;\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{36}}\,.\)

\(\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}-3x} \right) = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \left( {3x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,}\\{3x-\dfrac{\pi }{4} = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{13\pi }}{{36}} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\,\,}\\{x = -\dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{2\pi k}}{3},}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right].\) 

Рассмотрим решения  \(x = \dfrac{{13\pi }}{{36}} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{11\pi }}{{36}} < -\dfrac{1}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right]\) нет.

Если \(k = 0,\) то \(x = \dfrac{{13\pi }}{{36}} \in \left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right].\)

Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge \dfrac{{37\pi }}{{36}} > 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right]\) нет.

Рассмотрим решения  \(x = -\dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\,\,\,\,k \in Z.\)

Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\dfrac{{7\pi }}{{36}} < -\dfrac{1}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right]\) нет.

Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{17\pi }}{{36}} \in \left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right].\)

Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \dfrac{{41\pi }}{{36}} > 3,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{1}{2};3} \right]\) нет.

Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(\dfrac{{13\pi }}{{36}},\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{36}}.\,\)

Ответ:  \(\dfrac{{13\pi }}{{36}},\,\,\,\dfrac{{17\pi }}{{36}}.\,\)