\({\rm{ctg}}\left( {\dfrac{\pi }{5}-2x} \right) = \sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\rm{ctg}}\left( {2x-\dfrac{\pi }{5}} \right) = -\sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x-\dfrac{\pi }{5} = -\dfrac{\pi }{6} + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{{60}} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}} \right].\)
Если \(k \le -2,\) то \(x \le -\dfrac{{59\pi }}{{60}} < -\dfrac{5}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}} \right]\) нет.
Если \(k = -1,\) то \(x = -\dfrac{{29\pi }}{{60}} \in \left[ {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}} \right].\)
Если \(k \ge 0,\) то \(x \ge \dfrac{\pi }{{60}} > -\dfrac{1}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решение \(-\dfrac{{29\pi }}{{60}}.\,\)
Ответ: \(-\dfrac{{29\pi }}{{60}}.\,\)