Отбор корней тригонометрических уравнений. Задача 37

Задача 37. Найдите корни уравнения \(\sin \,x = \dfrac{1}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-\pi ;\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{1}{3};\,\,\,\,\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}.\)

Решение

\(\sin x = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi -\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \arcsin \dfrac{1}{3}\) и \(x = \pi -\arcsin \dfrac{1}{3}.\)

Ответ: \(\arcsin \dfrac{1}{3},\,\,\,\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}.\)