Отбор корней тригонометрических уравнений. Задача 38

Задача 38. Найдите корни уравнения \(\cos x = \dfrac{1}{5}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-2\pi ;\,0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\arccos \dfrac{1}{5};\,\,\,\,\arccos \dfrac{1}{5}-2\pi .\)

Решение

\(\cos x = \dfrac{1}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arccos \dfrac{1}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi -\arccos \dfrac{1}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-2\pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = -\arccos \dfrac{1}{5}\) и \(x = -2\pi + \arccos \dfrac{1}{5}.\)

Ответ: \(-\arccos \dfrac{1}{5},\,\,\,-2\pi + \arccos \dfrac{1}{5}.\)