\({\rm{tg}}\,x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4\pi ;-\pi } \right].\)
Если \(k \le -5,\) то \(x \le {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2}-5\pi < -4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-4\pi ;-\pi } \right]\) нет.
Если \(k = -4,\) то \(x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2}-4\pi \in \left[ {-4\pi ;-\pi } \right].\)
Если \(k = -3,\) то \(x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2}-3\pi \in \left[ {-4\pi ;-\pi } \right].\)
Если \(k = -2,\) то \(x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2}-2\pi \in \left[ {-4\pi ;-\pi } \right].\)
Если \(k \ge -1,\) то \(x \ge {\rm{arctg}}\dfrac{1}{2}-\pi > -\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-4\pi ;-\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \({\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-4\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-3\pi ;\,\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-2\pi \,.\)
Ответ: \({\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-4\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-3\pi ;\,\,\,\,\,\,{\text{arctg}}\dfrac{1}{2}-2\pi \,.\)