\({\rm{ctg}}\,x = \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k \le 1,\) то \(x \le {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + \pi < 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 2,\) то \(x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 3,\) то \(x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 4,\) то \(x \ge {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 4\pi > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)
Ответ: \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)