Задача 40. Найдите корни уравнения  \({\text{ctg}}\,x = \dfrac{1}{4}\),  принадлежащие промежутку  \(\left[ {\,2\pi ;\,4\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)

Решение

\({\rm{ctg}}\,x = \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right].\) 

Если \(k \le 1,\) то \(x \le {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + \pi  < 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) нет.

Если \(k = 2,\) то \(x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi  \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right].\)

Если \(k = 3,\) то \(x = {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi  \in \left[ {2\pi ;4\pi } \right].\)

Если \(k \ge 4,\) то \(x \ge {\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 4\pi  > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) нет.

Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)

Ответ:  \({\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 2\pi ;\,\,\,\,\,{\text{arcctg}}\dfrac{1}{4} + 3\pi \,.\)