\(\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi + \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right].\)
Рассмотрим решения \(x = -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} < \dfrac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 4\pi \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 6\pi > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = \pi + \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le \pi + \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} < \dfrac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = 3\pi + \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 5\pi > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};4\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 4\pi ,\,\,\,-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi ,\,\,\,\,\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi .\,\)
Ответ: \(-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 4\pi ,\,\,\,-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 2\pi ,\,\,\,\,\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{5} + 3\pi .\,\)