\(\cos x = -\dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi -\arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x = -\pi + \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right].\)
Рассмотрим решения \(x = \pi -\arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\arccos \dfrac{1}{3}-\pi < -\dfrac{\pi }{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = \pi -\arccos \dfrac{1}{3} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge 3\pi -\arccos \dfrac{1}{3} > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = -\pi + \arccos \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le -\pi + \arccos \dfrac{1}{3} < -\dfrac{\pi }{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = \pi + \arccos \dfrac{1}{3} \in \left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge 3\pi + \arccos \dfrac{1}{3} > 2\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\,\,2\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(\pi -\arccos \dfrac{1}{3},\,\,\,\pi + \arccos \dfrac{1}{3}.\,\)
Ответ: \(\pi -\arccos \dfrac{1}{3},\,\,\,\pi + \arccos \dfrac{1}{3}.\,\)