\({\rm{tg}}\,x = -2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -{\rm{arctg}}\,{\rm{2}} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \le 1,\) то \(x \le -{\rm{arctg}}\,{\rm{2}} + \pi < \pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right]\) нет.
Если \(k = 2,\) то \(x = -{\rm{arctg}}\,2 + 2\pi \in \left[ {\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k = 3,\) то \(x = — {\rm{arctg}}\,2 + 3\pi \in \left[ {\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \ge 4,\) то \(x \ge -{\rm{arctg}}\,{\rm{2}} + 4\pi > \dfrac{{7\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(2\pi -\,{\text{arctg}}\,{\text{2}};\,\,\,\,\,3\pi -\,{\text{arctg}}\,{\text{2}}\,.\)
Ответ: \(2\pi -\,{\text{arctg}}\,{\text{2}};\,\,\,\,\,3\pi -\,{\text{arctg}}\,{\text{2}}\,.\)