Отбор корней тригонометрических уравнений. Задача 44

Задача 44. Найдите корни уравнения \({\text{ctg}}\,x = -\dfrac{1}{4}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,\dfrac{\pi }{2};\,2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\pi -\,{\text{arcctg}}\,\dfrac{1}{4};\,\,\,\,\,2\pi -\,{\text{arcctg}}\,\dfrac{1}{4}\,.\)

Решение

\({\rm{ctg}}\,x = -\dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -{\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4} + \pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \pi -{\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4}\) и \(x = 2\pi -{\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4}.\)

Ответ: \(\pi -{\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4},\,\,\,2\pi -{\rm{arcctg}}\dfrac{1}{4}.\)