Задача 45. Найдите корни уравнения \(\cos 2x = \dfrac{2}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,0;\,\pi } \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3};\,\,\,\,\,\pi -\,\dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3}\,.\)
Решение
\(\cos 2x = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k,\,\,\,}\\{2x = -\arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3} + \pi k,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3} + \pi k,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.} \right.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{2}{3}\) и \(x = \pi -\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{2}{3}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{2}{3},\,\,\,\pi -\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{2}{3}.\)