Задача 46. Найдите корни уравнения \(\sin \,4x = \dfrac{1}{3}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,-\pi ;\,-\dfrac{\pi }{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\pi ;\,\,\,\,-\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\dfrac{{3\pi }}{4}.\)
Решение
\(\sin 4x = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4x = \pi -\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;-\dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \({x_1} = \dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\pi \) и \({x_2} = -\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\dfrac{{3\pi }}{4}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\pi ,\,\,\,-\dfrac{1}{4}\arcsin \dfrac{1}{3}-\dfrac{{3\pi }}{4}.\)