Задача 47. Найдите корни уравнения \(\cos 4x = -\dfrac{1}{5}\), принадлежащие промежутку \(\left[ {\,2\pi ;\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\dfrac{{9\pi }}{4}-\dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5};\,\,\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + \dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5}.\)
Решение
\(\cos 4x = -\dfrac{1}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \pi -\arccos \dfrac{1}{5} + 2\pi k,\,\,\,}\\{4x = -\pi + \arccos \dfrac{1}{5} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5} + \dfrac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \({x_1} = \dfrac{{9\pi }}{4}-\dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5}\) и \({x_2} = \dfrac{{9\pi }}{4} + \dfrac{1}{4}\arccos \frac{1}{5}.\)
Ответ: \(\dfrac{{9\pi }}{4}-\dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5},\,\,\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + \dfrac{1}{4}\arccos \dfrac{1}{5}.\)