\(\cos \dfrac{x}{2} = -\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{x}{2} = \pi -\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 2\pi k,\,\,\,}\\{\dfrac{x}{2} = -\pi + \arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 4\pi k,\,\,\,\,\,}\\{x = -2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 4\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,\,4\pi } \right].\)
Рассмотрим решения \(x = 2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 4\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} < 0,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\,\,4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = 2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} \in \left[ {0;\,\,4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 1,\) то \(x \ge 6\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\,\,4\pi } \right]\) нет.
Рассмотрим решения \(x = -2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} + 4\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)
Если \(k \le 0,\) то \(x \le -2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} < 0,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\,\,4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 1,\) то \(x = 2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} \in \left[ {0;\,\,4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 2,\) то \(x \ge 6\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3} > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {0;\,\,4\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3},\,\,\,2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}.\,\)
Ответ: \(2\pi -2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3},\,\,\,2\pi + 2\arccos \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}.\,\)