\({\rm{tg}}\,2x = -\sqrt 5 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = -{\rm{arctg}}\sqrt 5 + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\sqrt 5 + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \le 5,\) то \(x \le -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\sqrt 5 + \dfrac{{5\pi }}{2} < \dfrac{{5\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{7\pi }}{2}} \right]\) нет.
Если \(k = 6,\) то \(x = -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\sqrt 5 + 3\pi \in \left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k = 7,\) то \(x = -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\sqrt 5 + \dfrac{{7\pi }}{2} \in \left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{7\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \ge 8,\) то \(x \ge -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\sqrt 5 + 4\pi > \dfrac{{7\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{7\pi }}{2}} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решения \(3\pi -\dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 ;\,\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{2}-\dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 \,.\)
Ответ: \(3\pi -\dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 ;\,\,\,\,\,\dfrac{{7\pi }}{2}-\dfrac{1}{2}\,{\text{arctg}}\,\sqrt 5 \,.\)