\({\rm{2ctg}}\,\dfrac{x}{2} = -4\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,\dfrac{x}{2} = -2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{x}{2} = -{\rm{arcctg}}\,2 + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -2{\rm{arcctg}}\,2 + 2\pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{2};\dfrac{{11\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \le 1,\) то \(x \le -2{\rm{arcctg}}\,\,2 + 2\pi < \dfrac{{7\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{2};\dfrac{{11\pi }}{2}} \right]\) нет.
Если \(k = 2,\) то \(x = -2{\rm{arcctg}}\,\,2 + 4\pi \in \left[ {\dfrac{{7\pi }}{2};\dfrac{{11\pi }}{2}} \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge -2{\rm{arcctg}}\,\,2 + 6\pi > \dfrac{{11\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{{7\pi }}{2};\dfrac{{11\pi }}{2}} \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет решение \(4\pi -\,2\,{\text{arcctg}}\,{\text{2}}\,.\)
Ответ: \(4\pi -\,2\,{\text{arcctg}}\,{\text{2}}\,.\)