\({\rm{tg}}\dfrac{{\pi \left( {2x-1} \right)}}{2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\pi \left( {2x-1} \right)}}{2} = \dfrac{\pi }{4} + \pi k\left| { \cdot 2} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\pi \left( {2x-1} \right) = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\left| {:\pi } \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x-1 = \dfrac{1}{2} + 2k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \dfrac{3}{2} + 2k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 0,75 + k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Рассмотрим \(x = 0,75 + k,\,\,\,\,k\, \in \,Z\). Если \(k = 0\), то \(x = 0,75\); если \(k = -1\), то \(x = -0,25.\)
Следовательно, наибольший отрицательный корень \(x = -0,25.\)
Ответ: \(-0,25.\)