\({\rm{tg}}\dfrac{{\pi \left( {4x-2} \right)}}{3} = -\sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\pi \left( {4x-2} \right)}}{3} = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k\left| { \cdot 3} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\pi \left( {4x-2} \right) = -\pi + 3\pi k\left| {:\pi } \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4x-2 = -1 + 3k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4x = 1 + 3k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 0,25 + 0,75k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Рассмотрим \(x = 0,25 + 0,75k,\,\,\,\,k\, \in \,Z\). Если \(k = 0\), то \(x = 0,25\); если \(k = -1\), то \(x = -0,5.\)
Следовательно, наименьший положительный корень \(x = 0,25.\)
Ответ: \(0,25.\)