Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 10

ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно 1 (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{4},\) а в третьей четверти \(\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{4}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса меньше 1, причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств   \(\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{\pi }{4},\\\dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{{5\pi }}{4},\end{array} \right.\)  то есть эти значения x являются решениями неравенства  \({\rm{tg}}\,x < 1\) на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)