Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 11

ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в четвёртой четверти соответствует числу \(-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6},\) а во второй четверти \(\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса не меньше \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3},\) причём точки \(-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6}\) и \(\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{6}\)  войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств   \(\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{\pi }{6} \le x < \dfrac{\pi }{2},\\\dfrac{{5\pi }}{6} \le x < \dfrac{{3\pi }}{2},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства  \({\rm{tg}}\,x \ge -\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left[ {-\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)