Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 13

ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(\sqrt 3 \) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{6},\) а в третьей четверти \(\dfrac{{{\rm{7\pi }}}}{6}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса больше \(\sqrt 3 ,\) причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств   \(\left[ \begin{array}{l}0 < x < \dfrac{\pi }{6},\\{\rm{\pi }} < x < \dfrac{{7\pi }}{6},\end{array} \right.\)  то есть эти значения x являются решениями неравенства  \({\rm{ctg}}\,x > \sqrt 3 \) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)