Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 14

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\pi  + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно 1 (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{4},\) а в третьей четверти \(\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{4}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса меньше 1, причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств   \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\rm{\pi }}}{4} < x < {\rm{\pi }},\\\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{4} < x < 2{\rm{\pi }},\end{array} \right.\)  то есть эти значения x являются решениями неравенства  \({\rm{ctg}}\,x < 1\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\pi  + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\pi  + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)