Задача 15. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x \geqslant -\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Ответ: \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка во второй четверти соответствует числу \(\dfrac{{{\rm{2\pi }}}}{3},\) а в четвёртой четверти \(\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{3}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса не меньше \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3},\) причём точки \(\dfrac{{{\rm{2\pi }}}}{3}\) и \(\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{3}\) войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}0 < x \le \dfrac{{2\pi }}{3},\\{\rm{\pi }} < x \le \dfrac{{5\pi }}{3},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{ctg}}\,x \ge -\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,\,k \in Z.\)