Задача 16. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x \leqslant 0.\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно 0 (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}\) и \(\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса не больше 0, причём точки \(\frac{{\rm{\pi }}}{2}\) и \(\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}\) войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} \le x < {\rm{\pi }},\\\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2} \le x < 2{\rm{\pi }},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{ctg}}\,x \le 0\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)