Задача 17. Решите неравенство: \(\sin x > \dfrac{1}{3}.\)
Ответ: \(\left( {\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k;\,\,\pi -\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(\dfrac{1}{3}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(\dfrac{1}{3}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых больше \(\dfrac{1}{3}\), причём концы дуги не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). Точка правой полуокружности с ординатой \(\dfrac{1}{3}\) соответствует числу \(\arcsin \dfrac{1}{3}.\) Обойдём выделенную дугу от её правого конца — точки \(\arcsin \dfrac{1}{3}\) — до левого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому левый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(\arcsin \dfrac{1}{3} < x < {\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{1}{3}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x > \dfrac{1}{3}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {0;2\pi } \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют интервал \(\left( {\arcsin \dfrac{1}{3};{\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{1}{3}} \right)\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k;\,\,\pi -\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)