Задача 18. Решите неравенство: \(\sin x \leqslant \dfrac{2}{3}.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\pi -\arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi + \arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left[ {\pi -\arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi + \arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\) 
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(\dfrac{2}{3}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(\dfrac{2}{3}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых меньше \(\dfrac{2}{3}\), причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка левой полуокружности с ординатой \(\dfrac{2}{3}\) соответствует числу \({\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{2}{3}.\) Обойдём выделенную дугу от её левого конца — точки \({\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{2}{3}\) — до правого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому правый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(2\pi + \arcsin \dfrac{2}{3}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \({\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{2}{3} \le x \le 2{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{2}{3}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x \le \dfrac{2}{3}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {{\rm{\pi }}-\arcsin \dfrac{2}{3};2{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{2}{3}} \right]\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {\pi -\arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi + \arcsin \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)