Задача 19. Решите неравенство: \(\sin x > -\dfrac{1}{4}.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-\arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi + \arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left( {-\arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi + \arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\) 
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(-\dfrac{1}{4}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(-\dfrac{1}{4}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых больше \(-\dfrac{1}{4}\), причём концы дуги не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). Точка правой полуокружности с ординатой \(-\dfrac{1}{4}\) соответствует числу \(-\arcsin \dfrac{1}{4}.\) Обойдём выделенную дугу от её правого конца — точки \(-\arcsin \dfrac{1}{4}\) — до левого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому левый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(\pi + \arcsin \dfrac{1}{4}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-\arcsin \dfrac{1}{4} < x < {\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{1}{4}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x > -\dfrac{1}{4}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют интервал \(\left( {-\arcsin \dfrac{1}{4};{\rm{\pi + }}\arcsin \dfrac{1}{4}} \right)\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k;\,\,\pi + \arcsin \dfrac{1}{4} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)