Задача 2. Решите неравенство: \(\sin x \leqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\) 
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых меньше \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка левой полуокружности с ординатой \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) соответствует числу \(\dfrac{{3\pi }}{4}.\) Обойдём выделенную дугу от её левого конца — точки \(\dfrac{{3\pi }}{4}\) — до правого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому правый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(2\pi + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{9\pi }}{4}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(\dfrac{{3\pi }}{4} \le x \le \dfrac{{9\pi }}{4}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{4};\dfrac{{{\rm{9\pi }}}}{4}} \right]\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{9\pi }}{4} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)