Задача 20. Решите неравенство: \(\sin x \leqslant -\dfrac{3}{5}.\)
Ответ: \(\left[ {-\pi + \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k;\,\,-\arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(-\dfrac{3}{5}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(-\dfrac{3}{5}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых меньше \(-\dfrac{3}{5}\), причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка левой полуокружности с ординатой \(-\dfrac{3}{5}\) соответствует числу \(-{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{3}{5}.\) Обойдём выделенную дугу от её левого конца — точки \(-{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{3}{5}\) — до правого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому правый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(-\arcsin \dfrac{3}{5}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{3}{5} \le x \le -\arcsin \dfrac{3}{5}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x \le -\dfrac{3}{5}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-{\rm{\pi }};\pi } \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {-{\rm{\pi }} + \arcsin \dfrac{3}{5};-\arcsin \dfrac{3}{5}} \right]\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {-\pi + \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k;\,\,-\arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)