Задача 22. Решите неравенство: \(\cos x \leqslant \dfrac{2}{3}.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {{\text{arccos}}\dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi -\arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left[ {{\rm{arccos}}\dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi -\arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\) 
Построим единичную окружность и на линии косинусов (оси абсцисс) отметим точку с абсциссой \(\dfrac{2}{3}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси ординат, которая пересекает окружность в точках, абсциссы которых равны \(\dfrac{2}{3}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, абсциссы которых меньше \(\dfrac{2}{3}\), причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка верхней полуокружности с абсциссой \(\dfrac{2}{3}\) соответствует числу \(arccos\dfrac{2}{3}.\) Обойдём выделенную дугу от её верхнего конца — точки \(arccos\dfrac{2}{3}\) — до нижнего. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому нижний конец дуги — это точка, соответствующая числу \(2{\rm{\pi }}-arccos\dfrac{2}{3}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(arccos\dfrac{2}{3} \le x \le 2{\rm{\pi }}-arccos\dfrac{2}{3}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\cos x \le \dfrac{2}{3}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции косинус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {arccos\dfrac{2}{3};2{\rm{\pi }}-arccos\dfrac{2}{3}} \right]\). С учетом периодичности функции косинус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {{\rm{arccos}}\dfrac{2}{3} + 2\pi k;\,\,2\pi -\arccos \dfrac{2}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)