Задача 25. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x > 2.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {{\text{arctg}}\,2 + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Решение
Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно 2 (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \({\rm{arctg}}\,2,\) а в третьей четверти \({\rm{\pi }} + {\rm{arctg}}\,2.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса больше 2, причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}{\rm{arctg}}\,2 < x < \dfrac{\pi }{2},\\{\rm{\pi }} + {\rm{arctg}}\,2 < x < \dfrac{{3\pi }}{2},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{tg}}\,x > 2\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {{\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Ответ: \(\left( {{\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)