Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 26

ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,{\text{arctg}}\,\dfrac{2}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(\dfrac{2}{3}\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в первой четверти соответствует числу \({\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3},\) а в третьей четверти \({\rm{\pi }} + {\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3}.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса меньше \(\dfrac{2}{3},\) причём точки \({\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3}\) и \({\rm{\pi }} + {\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3}\) войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств   \(\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} < x \le {\rm{arctg}}\dfrac{2}{3},\\\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} < x \le {\rm{\pi }} + {\rm{arctg}}\dfrac{2}{3},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства  \({\rm{tg}}\,x \le \dfrac{2}{3}\) на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,{\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,{\rm{arctg}}\,\dfrac{2}{3} + \pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)