Задача 27. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x > -2.\)
Ответ: \(\left( {-{\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-2\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в четвёртой четверти соответствует числу \(-{\rm{arctg}}\,2,\) а во второй четверти \({\rm{\pi }}-{\rm{arctg}}\,2.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса больше \(-2\), причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}-{\rm{arctg}}\,2 < x < \dfrac{\pi }{2},\\{\rm{\pi }}-{\rm{arctg}}\,2 < x < \dfrac{{3\pi }}{2},\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{tg}}\,x > -2\) на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-{\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)