Задача 28. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x \leqslant -5.\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,-{\rm{arctg}}\,5 + \pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси тангенсов (прямая \(x = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-5\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка в четвёртой четверти соответствует числу \(-{\rm{arctg}}\,\,5,\) а во второй четверти \({\rm{\pi }}-{\rm{arctg}}\,5.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение тангенса меньше \(-5,\) причём точки \(-{\rm{arctg}}\,\,5\) и \({\rm{\pi }}-{\rm{arctg}}\,5\) войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} < x \le -{\rm{arctg}}\,\,5,\\\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} < x \le {\rm{\pi }}-{\rm{arctg}}\,5,\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{tg}}\,x \le -5\) на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{3{\rm{\pi }}}}{2}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции тангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,-{\rm{arctg}}\,5 + \pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)