Задача 3. Решите неравенство: \(\sin x > -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых больше \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), причём концы дуги не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). Точка правой полуокружности с ординатой \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) соответствует числу \(\arcsin \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = -\dfrac{\pi }{3}.\) Обойдём выделенную дугу от её правого конца — точки \(-\dfrac{\pi }{3}\) — до левого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому левый конец дуги — это точка, соответствующая числу \(2\pi -\dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{4\pi }}{3}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-\dfrac{\pi }{3} < x < \dfrac{{4\pi }}{3}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\sin x > -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют интервал \(\left( {-\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)