Задача 31. Решите неравенство: \({\text{ctg}}\,x > -3.\)
Ответ: \(\left( {\pi k;\,\,\pi -\,{\rm{arcctg}}\,3 + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на оси котангенсов (прямая \(y = 1\)) отметим точку, значение которой равно \(-3\) (см. рис.). Через начало координат и эту точку проведём прямую, которая пересекает окружность в двух точках. Точка во второй четверти соответствует числу \({\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,3,\) а в четвёртой четверти \({\rm{2\pi }}-{\rm{arcctg}}\,3.\) Выделим дуги (красным цветом), на которых лежат все точки, в которых значение котангенса больше \(-3\), причём концы дуг не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). При обходе против часовой стрелки получим, что выделенные дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют совокупности неравенств \(\left[ \begin{array}{l}0 < x < {\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,3,\\{\rm{\pi }} < x < 2{\rm{\pi }}-{\rm{arcctg}}\,3,\end{array} \right.\) то есть эти значения x являются решениями неравенства \({\rm{ctg}}\,x > -3\) на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi .\) С учетом периодичности функции котангенс множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {\pi k;\,\,\pi -\,{\rm{arcctg}}\,3 + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)