Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 4

ОТВЕТ: \(\left[ {-\pi  + 2\pi k;\,\,2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на линии синусов (оси ординат) отметим точку с ординатой 0  (см. рис.). Через эту точку проведём прямую совпадающую с осью абсцисс, которая пересекает окружность в точках, ординаты которых равны 0. Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, ординаты которых меньше 0, причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка левой полуокружности с ординатой 0 соответствует числу \(-{\rm{\pi }}.\) Обойдём выделенную дугу от её левого конца — точки \(-{\rm{\pi }}\) — до правого. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому правый конец дуги — это точка, соответствующая числу 0. Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-{\rm{\pi }} \le x \le 0\), то есть эти значения x являются решениями неравенства  \(\sin x \le 0.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-{\rm{\pi }};\,{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции синус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {-{\rm{\pi }};\,0} \right]\). С учетом периодичности функции синус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {-\pi  + 2\pi k;\,\,2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left[ {-\pi  + 2\pi k;\,\,2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)