Задача 7. Решите неравенство: \(\cos x > -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Построим единичную окружность и на линии косинусов (оси абсцисс) отметим точку с абсциссой \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) (см. рис.). Через эту точку проведём прямую параллельную оси ординат, которая пересекает окружность в точках, абсциссы которых равны \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, абсциссы которых больше \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), причём концы дуги не войдут в указанное множество точек, так как неравенство строгое (на рисунке эти точки не закрашены). Точка нижней полуокружности с абсциссой \(-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) соответствует числу \(-\dfrac{{5\pi }}{6}.\) Обойдём выделенную дугу от её нижнего конца — точки \(-\dfrac{{5\pi }}{6}\) — до верхнего. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому верхний конец дуги — это точка, соответствующая числу \(\dfrac{{5\pi }}{6}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(-\dfrac{{5\pi }}{6} < x < \dfrac{{5\pi }}{6}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства \(\cos x > -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {-{\rm{\pi }};\,{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции косинус, все решения данного неравенства составляют интервал \(\left( {-\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\). С учетом периодичности функции косинус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left( {-\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)