Простейшие тригонометрические неравенства. Задача 8

ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

Построим единичную окружность и на линии косинусов (оси абсцисс) отметим точку с абсциссой 0 (см. рис.). Через эту точку проведём прямую совпадающую с осью ординат, которая пересекает окружность в точках, абсциссы которых равны 0. Выделим дугу (красным цветом), на которой лежат все точки, абсциссы которых меньше 0, причём концы дуги войдут в указанное множество точек, так как неравенство нестрогое (на рисунке эти точки закрашены). Точка верхней полуокружности с абсциссой 0 соответствует числу \(\dfrac{\pi }{2}.\) Обойдём выделенную дугу от её верхнего конца — точки \(\dfrac{\pi }{2}\) — до нижнего. Обход осуществлен против часовой стрелки, поэтому нижний конец дуги — это точка, соответствующая числу \(\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}.\) Все точки выделенной дуги соответствуют числам x, которые удовлетворяют неравенству \(\dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{{3\pi }}{2}\), то есть эти значения x являются решениями неравенства  \(\cos x \le 0.\) Таким образом, на промежутке \(\left[ {0;2{\rm{\pi }}} \right]\) длиной \(2\pi ,\) что составляет период функции косинус, все решения данного неравенства составляют промежуток \(\left[ {\dfrac{{\rm{\pi }}}{2};\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2}} \right]\). С учетом периодичности функции косинус множество решений данного неравенства составит объединение промежутков вида \(\left[ {\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

Ответ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)