Иррациональные неравенства повышенной сложности. Задача 10

ОТВЕТ: \(\left( {2;\;5} \right).\)

\(\dfrac{{\sqrt {2x-1} }}{{x-2}} > 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt {2x-1} -x + 2}}{{x-2}} > 0.\)

Решим данное неравенство методом интервалов при условии, что:    \(2x-1 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{2};\,\infty } \right).\)  Найдём нули числителя:

\(\sqrt {2x-1} -x + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {2x-1}  = x-2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x-2 \ge 0,\\2x-1 = {\left( {x-2} \right)^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\2x-1 = {x^2}-4x + 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2,\\\left[ \begin{array}{l}x = 1,\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 5.\)

Найдём нули знаменателя:  \(x-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 2.\)

Ответ:  \(\left( {2;5} \right).\)